Допирателни към окръжност

Ако правата a и окръжността k имат само една обща точка Т, правата а се нарича допирателна на k в точка T. Допирателната няма друга обща точка с окръжността.

Ако една права е допирателна на дадена окръжност, тя е перпендикулярна на радиуса в допирната точка.

Дадено: Да се докаже:

окръжност k (O; r), a ⊥ OT

права a – допирателна на k,

T – допирна точка

Доказателство:

За а и OT има две възможности: a ⊥ OT и a не е перпендикулярна на OT. Допускаме, че a не е перпендикулярна на OT. Нека P е петата на перпендикуляра, спуснат от O към a. От правоъгълния ΔOPT следва, че OP < OT = r, т.е. P е вътрешна за k, т.е. a е секуща на k. Това противоречи на условието, че a е допирателна на k. Остава вярно твърдението, че a ⊥ OT.

Задача 1

През дадена точка T на окръжност k (O; r) да се построи допирателна на k.

Построение:

Построяваме:

1. продължението на радиуса OT;

2. точка M, външна за k, TM = OT;

3. симетрала s на отсечката OM.

Правата s е търсената допирателна, защото OT ⊥ s и OT = r.

Дължините на допирателните към дадена окръжност, прекарани през точка вън от окръжността, са равни.

Дадено: Да се докаже:

окръжност k (O; r) MT1 = MT2

M – външна точка за k (OM > r),

MT1 и MT2 – допирателни на k

Доказателство:

Разглеждаме ΔOMT1 и ΔOMT2

∢T1 = ∢T2 = 90°

OM - обща

ОТ1 = ОТ2 = r

ΔOMT1 ≅ ΔOMT2 (по ІV признак) ⇒ MT1 = MT2.

∢1 = ∢2 като съответни ъгли в еднаквите ΔOMT1 и ΔOMT2.

Ако през точка M, вън от окръжността, са прекарани двете допирателни t1 и t2, правата, която минава през точката M и центъра O на окръжността, е ъглополовяща на ъгъла, образуван от допирателните.

Прието е, когато се говори за допирателна към окръжност през точка, вън от окръжността, под „допирателна“ да се разбира както правата MT1 , така и правата MT2 .

Задача 2

През точка M, която е външна за окръжността k (O; r = 7 сm), са построени две взаимноперпендикулярни допирателни.

а) Намерете дължината на всяка от допирателните.

б) Между допирните точки T1 и T2 на тези допирателни върху дъгата T1T2 е взета произволна точка C и през нея е построена допирателна PN, която образува с MT1 и MT2 ΔMNP. Намерете периметъра на този триъгълник.

Решение:

а) OT1 MT2 има три прави ъгъла ⇒ правоъгълник, но MT1 = MT2 (или OT1 = OT2 = r) ⇒ квадрат. Тогава MT1 = MT2 = r = 7 сm.

б) От NC = NT1 и PC = PT2 получаваме

P_ΔNPM= MN + NC + CP + PM =

= MN + NT1 + T2P + PM =

= MT1 + T2M =

= 7 + 7 = 14 cm.

Задачи

1

През точка A от окръжността k са построени диаметър AB, допирателна t през A и хорди AC = AD = r (D ≠ C). Намерете ∢CAD, ∢DBC и острия ъгъл, образуван от хордата AC и допирателната t.

2

Хордата AB в окръжността k е равна на радиуса. Допирателните към окръжността в точките A и B се пресичат в точка C. Намерете ъгъла между допирателните.

3

Права t се допира до окръжността k (O; r) в точка T. Точката M лежи на правата t така, че ∢OMT = 30°. Отсечката OM пресича k в точка N. Намерете:

а) OM;    

б) MN;

в) разстоянието от N до t.

4

Даден е ромб ABCD със страна AB = a и SA = 60°.

а) Намерете радиуса на окръжността k (D; r), така че правата AC да е допирателна на k.

б) Намерете ъгъла между допирателните, прекарани от върха B към тази окръжност.

5

Дадена е окръжност k (O). През точка C, външна за k, са построени правата CO, която пресича окръжността в точка D (O е между C и D), и права, пресичаща k в точки A и B (B е между A и C) така, че BC = OA. Докажете, че ∢AOD = 3 ∢ACD.

Използвана литература

Учебник по Математика за 8. клас
Geogebra